Berechnungsschema von Speichern/en: Unterschied zwischen den Versionen

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:<math>\frac{\mbox{d}S(t)}{\mbox{d}t} = \sum_{j=1}^m Q_{zu,j}(t) - \sum_{i=1}^n Q_{ab,i}(t)</math>


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:with:  
:<code>S(t)</code> = Speicherinhalt des Speichers
:<code>S(t)</code> = Storage contents of the reservoir
:<code>Q<sub>zu,j</sub>(t)</code> = Zulaufprozess
:<code>Q<sub>zu,j</sub>(t)</code> = Inflow process
:<code>Q<sub>ab,i</sub>(t)</code> = Ablaufprozess
:<code>Q<sub>ab,i</sub>(t)</code> = Operational process
:<code>m</code> = Anzahl der Zulaufprozesse
:<code>m</code> = Number of inflow processes
:<code>n</code> = Anzahl der Ablaufprozesse
:<code>n</code> = Number of operational process


Die Entnahmeterme sind in der Regel nichtlineare Funktionen des Speicherinhaltes (z.B. die Entnahme aus dem Bodenspeicher mit den Prozessfunktionen)
Die Entnahmeterme sind in der Regel nichtlineare Funktionen des Speicherinhaltes (z.B. die Entnahme aus dem Bodenspeicher mit den Prozessfunktionen)

Version vom 17. November 2020, 16:31 Uhr

Sprachen:
Areawise linearized withdrawal function

The simulation of reservoirs is carried out with a newly developed module for the calculation of reservoirs, whose process functions are to be represented linearly in certain areas. The module is a further development of the approach of Ostrowski (1992)[1] and is described in detail in Mehler (2000)[2]. It allows the simultaneous solution of the continuity equation for several processes without complex iterations and is briefly explained below.

For a reservoir whose content depends on several inflow or outflow processes, the continuity equation can be represented as follows:


[math]\displaystyle{ \frac{\mbox{d}S(t)}{\mbox{d}t} = \sum_{j=1}^m Q_{zu,j}(t) - \sum_{i=1}^n Q_{ab,i}(t) }[/math]
with:
S(t) = Storage contents of the reservoir
Qzu,j(t) = Inflow process
Qab,i(t) = Operational process
m = Number of inflow processes
n = Number of operational process

Die Entnahmeterme sind in der Regel nichtlineare Funktionen des Speicherinhaltes (z.B. die Entnahme aus dem Bodenspeicher mit den Prozessfunktionen) Diese Funktionen werden bereichsweise linearisiert.

[math]\displaystyle{ y(t) = A \cdot \left ( \frac{y_{i+1}-y_i}{S_{i+1}-S_i} \cdot (S(t)-S_i) + y_i \right ) }[/math]
mit:
[math]\displaystyle{ A = A_1 \cdot A_l \cdot A_{l+1} \cdot \ldots \cdot A_{p-1} \cdot A_p }[/math]
y(t) = Entnahme aus dem Speicher
S(t) = Speicherinhalt
yi = Größe der Entnahme an der Stützstelle i
Si = Speicherinhalt an der Stützstelle i
A = Multiplikator der Prozessgröße als Produkt aller weiteren Abhängigkeiten
p = Anzahl weiterer Abhängigkeiten

Für jede Entnahmefunktion kann nach Lineariserung eine Geradengleichung aufgestellt werden, die nur noch vom Speicherinhalt abhängig ist. Die Steigung "m" der Geraden ändert sich von Stützstelle zu Stützstelle. Somit gibt es für jede vom Speicherinhalt abhängige Funktion einen bereichsweise linearisierten Verlauf entlang der Speicherfüllung. Die Funktion selbst kann mit einem für jeden Zeitschritt konstanten Faktor (A) skaliert werden, der alle weiteren Abhängigkeiten als Produkt zusammenfasst.

Die Kontinuitätsgleichung kann nun umformuliert werden zu:

[math]\displaystyle{ \frac{\mbox{d}S}{\mbox{d}t} = \sum_{j=1}^m Q_{z,j}(t) + \sum_{k=1}^m y_{k,i} + \sum_{k=1}^m m_{k,i} \cdot (S(t)-S_i) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{\mbox{d}S}{\mbox{d}t} = \sum_{j=1}^m Q_{z,j}(t) + \sum_{k=1}^m y_{k,i} + \mbox{C}_2 \cdot (S(t)-S_i) }[/math]
mit:
[math]\displaystyle{ \mbox{C}_2 = \sum_{k=1}^m m_{k,i} }[/math]

Nach Ausmultiplizieren der Klammer wird die Kontinuitätsgleichung zu:

[math]\displaystyle{ \frac{\mbox{d}S}{\mbox{d}t} + \mbox{C}_2 \cdot S(t) = \mbox{C}_1 }[/math]
mit:
[math]\displaystyle{ \mbox{C}_1 = \sum_{j=1}^m Q_{z,j}(t) + \sum_{k=1}^m y_{k,i} + \mbox{C}_2 \cdot S_i }[/math]

Diese Gleichung ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung und besitzt folgende Lösung:

[math]\displaystyle{ S(t) = \frac{\mbox{C}_2}{\mbox{C}_1} \cdot (1-e^{-C_1 \cdot t}) + S_0 \cdot e^{-C_1 \cdot t} }[/math]
mit:
[math]\displaystyle{ S_0 = S(t=0) }[/math]


Damit steht die Speicherfüllung zu jedem Zeitpunkt fest. Tritt innerhalb eines Zeitintervalls eine Bereichsüberschreitung ein, sind die Größen C1 und C2 mit den jeweils aktuellen Steigungen und Achsenabschnittswerten der bereichsweise linearisierten Funktionen neu zu berechnen. Die simultane Berechnung der Abgabenfunktionen wird durch Einsetzen der Speicherinhaltsgleichung in die jeweilige Geradengleichung erreicht. Allgemein ausgedrückt gilt für die mittlere Intensität aller Abgaben:

[math]\displaystyle{ \bar{y} = \frac{1}{\Delta t} \int_{t=0}^{\Delta t} A \cdot \left [ y_i \cdot S_i + m_i \cdot \left ( \frac{C_2}{C_1} \cdot ( 1 - e^{-C_1 \cdot t} ) + S_0 \cdot e^{-C_1 \cdot t} \right ) \right ] }[/math]
[math]\displaystyle{ \bar{y} = y_i + m_i \cdot \left [ -S_i + \frac{C_2}{C_1} + (1-e^{-C_1 \cdot \Delta t}) \cdot \left ( \frac{S_0}{\Delta t \cdot C_1} - \frac{C_2}{\Delta t \cdot C_1^2} \right ) \right ] }[/math]

Mit diesem Berechnungsschema können alle Speicher, deren Prozesse bereichsweise linear zu beschreiben sind, berechnet werden. In Talsim-NG werden mit diesem Baustein die Bodenprozesse, die Speicher sowie die Transportstrecken berechnet.


Literaturangaben

  1. Ostrowski, M. (1992): A universal module for the simulation of hydrological processes, water and soil, issue 11
  2. Mehler, R. (2000): Mischwasserbehandlung - Verfahren und Modellierung, Mitteilungen des Instituts für Wasserbau und Wasserwirtschaft der TU Darmstadt, Heft 113